Anneau

Un anneau est un ensemble $R$ équipé de deux lois de composition interne, ordinairement appelées addition $+$ et multiplication $\times$, et avec les propriétés suivantes :

1. $R$ est un groupe abélien pour la loi $+$.
2. La multiplication est associative : pour tout $a,b,c\in R$, $(a\times b)\times c= a\times (b\times c)$.
3. Distributivité : pour tout $a,b,c\in R$,
   $$a\times (b+c)=a\times b+a\times c \quad \text{et}\quad (a+b)\times c=a\times c+b\times c$$
4. Element neutre pour $\times$: il existe un élément $1\in R$ tel que, pour tout $a\in R$, $1\times a=a\times 1=a$.

Dans ce contexte, on note $R$ par $(R,+,\times)$ pour mettre en avant de quelles lois on parle.

Remarques

• Certains auteurs n’incluent pas l’existence du neutre multiplicatif $1$ dans la définition. Cette structure d’anneau sans identité est souvent appelée un rng.