Application

Soient $E$ et $F$ deux ensembles.

Définition intuitive :

Une application (ou fonction) de $E$ vers $F$ est un procédé qui à un élément de $E$ lui associe exactement un élément de F.

Définition formelle :

Soit $f : E \longrightarrow F$ alors $f$ est une application lorsque qu’elle vérifie:
$$\forall x \in E,\ \exists !\, y \in F \ \text{tel que}\ y = f(x)$$

Vocabulaire :

Ainsi, si on a un $x\in E$ et $y\in F$ telle que $y =f(x)$, on dit que:

• $x$ est un antédent de $y$ par $f$, il n’est pas unique.
• $y$ est l’image de $x$ par $f$, elle est unique.

Exemples :

• On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$ où $a,b,c$ sont distincts.
  Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$.
  Alors $f$ est une application puisque chaque élément de $E$ a une unique image dans $F$.

• On considère $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ telle que $f(n)=n+1$.
  Alors $f$ est bien une application.
  Remarquons cependant que 0 n’a pas d’antécédent puisque l’équation $n+1=0$ n’a pas de solution sur $\mathbb{N}$.

Contre-exemple :

On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$ où $a,b,c$ sont distincts.
Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a, f(2)=b, f(2)=c$.
Alors $f$ n’est pas une application puisque $2$ a deux images.