Continuité

Définition intuitive

Une fonction est continue sur un intervalle $I$ si elle peut être tracée sur cet intervalle d’un seul trait sans lever le stylo : elle n’est pas interrompue.

Elle peut être continue seulement à gauche (resp. à droite) de $a$, c’est-à-dire $\forall x<a$ (resp. $\forall x>a$). On peut donc tracer d’un seul geste la courbe de $f$ jusqu’en $a$ (resp. à partir de $a$), puis il faut s’arrêter car il y a une interruption. Si $f$ est continue à droite et à gauche de $a$, $f$ est continue en $a$.

Définition formelle

Une fonction $f$ est dite continue en $a \in{I}$ si elle admet une limite finie en $a$, égale à l'image de $a$ par $f$. Autrement dit, $f$ est continue en $a\in I$ lorsque :
$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$$On peut aussi le voir comme le fait que pour tout $x$ suffisamment proche de $a$, $f(x)$ est aussi assez proche de $f(a)$. Ainsi, $\forall \epsilon >0, \exists \alpha$ tel que $\forall x \in{I}$
$$\vert x-a \vert \leqslant \alpha \implies\vert f(x)-f(a)\vert \leqslant \epsilon.$$

Exemples et remarques

• Dans certains cas, une fonction peut être prolongée par continuité.