Polynôme irréductible

Définition

Soit $\mathbb{K}$ un corps. Un polynôme $P\in \mathbb{K}[X]$ est irréductible sur $\mathbb{K}$ s’il ne peut pas être écrit comme $P(X)=A(X)B(X)$ où $A,B\in \mathbb{K}[X]$ sont des polynômes de degré^EN strictement positif.

Remarques

• Dans un corps $\mathbb{K}$ algébriquement clos, tel que $\mathbb{C}$, tout polynôme non constant possède au moins une racine. Donc seul les polynômes de $\mathbb{K}[X]$ de degré $1$ sont irréductibles.
• Pour déterminer si un polynôme est irréductible dans des corps tels que $\mathbb Q$ ou $\mathbb R$, on peut commencer par calculer ses racines dans $\mathbb C$. On regroupe ensuite les facteurs associés à ces racines afin de faire apparaître un polynôme à coefficients dans le corps considéré. Par exemple, dans $\mathbb R[X]$, les racines complexes non réelles apparaissent par paires conjuguées et donnent naissance à des facteurs irréductibles de degré $2$.