Critère d’irréductibilité des polynômes cyclotomiques dans les corps finis

On pose $L$ un corps de décomposition de $\Phi_{n}$ et $\mu_{n}'(L)$ l’ensemble des racines primitives $n$-ème de l’unité dans $L.$
On considère $\sigma\colon x\in L\mapsto x^{q}\in L$ l’automorphisme de Frobenius qui est un élément de $\mathrm{Gal}(L/K).$ On considère les deux lemmes suivants.
Lemme 1 L’ensemble des racines de $\Phi_{n}$ satisfait $\Phi_{n}^{-1}(\set{0})=\mu_{n}'(L)$ et l'action de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ sur cet ensemble est simplement transitive.
Preuve Voir le problème suivant.
Lemme 2 Soit $F\in K[X]$ unitaire, scindé à racines simples dans $L/K$ tel que $\mathrm{Gal}(L/K)$ agit transitivement sur les racines de $F$ dans $L$ alors $F$ est irréductible dans $K[X].$
Preuve Voir le problème suivant.

On peut désormais attaquer la preuve.
$\boxed{\Leftarrow}$ Supposons que $q$ engendre $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$. Soient $\zeta,\eta\in\mu_{n}'(L)$ alors, par le lemme 1, il existe $k=q^{m}\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ tel que $\eta=\zeta^{k}=\sigma^{m}(\zeta)$ donc, par le lemme 2 (et le 1) $\mathrm{Gal}(L/K)$ agit transitivement sur les racines de $\Phi_{n}$ donc $\Phi_{n}$ est irréductible dans $\mathbb{F}_{q}[X].$
$\boxed{\Rightarrow}$ Supposons que $\Phi_{n}$ est irréductible dans $\mathbb{F}_{q}[X].$ On pose $\omega\in\mu_{n}'(L)$ et $U=\set{\omega^{q^{k}}\mid k\in\mathbb{N}}$ qui est une partie de $\mu_{n}'(L)$ car $n$ et les puissances de $q$ sont premiers entre eux. On pose $P=\displaystyle\prod_{u\in U}(X-u)$. On remarque que $\forall u\in U, u^{q}\in U$. Par les relations coefficients-racines les coefficients de $P$ vérifient donc $c^{q}=c$ donc $c\in\mathbb{F}_{q}$. Par irréductibilité de $\Phi_{n}$ on a $\Phi_{n}=P$ si bien que $U=\mu_{n}'(L)$. Par ailleurs, $U$ est du cardinal du sous-groupe de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ engendré par $q$ par simple transitivité son action sur $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}.$ Ainsi, $q$ engendre $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$.