Théorème des résidus

Intuition

Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d’une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôles compris dans le chemin. C’est un théorème qui permet, à partir de la simple connaissance des pôles d’une fonction, de calculer des intégrales complexes.

Enoncé du théorème

Soit $f$ une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec $n$ pôles isolés distincts notés $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$.
On définit un chemin continu $\gamma :[0,1] \mapsto \mathbb{C}$ ne passant par aucun pôle et tel que $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a :
$$\int_{\gamma}f(z)\diff z=2\mathrm{i}\pi\sum_{k=1}^n \operatorname{Ind}(\gamma,p_{k})\cdot \operatorname{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,p_k)$$Avec $\operatorname{Ind}(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de $p$ (son indice) comptés dans le sens trigonométrique, potentiellement nul si l’intérieur de $\gamma$ ne contient aucun pôle, et
$$\operatorname{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,p)$$le coefficient devant le terme en $\dfrac{1}{z-p}$ dans le développement en série de Laurent de la fonction $f$ au voisinage de $p$.

Exemples :

$\bullet$ Prenons $\gamma: t\in [0,1] \mapsto e^{2i\pi t}\in \mathbb{C}$, on a
$$\int_{\gamma}\sin(z)\mathrm{d}z=0$$car $\sin$ n’a pas de pôle dans l’intérieur du cercle unité tracé par $\gamma$.
$\bullet$ Soit maintenant $\gamma: t\in [0,1] \mapsto e^{-4i\pi t}\in \mathbb{C}$, on a
$$\int_{\gamma}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=-4i\pi$$car $z\longmapsto \frac{1}{z}$ possède un pôle en $0$ autour duquel $\gamma$ tourne $2$ fois dans le sens anti-horaire. Cela rajoute un facteur $-2$ au $2i\pi$.
$\bullet$ On considère ici $\gamma: t\in [0,1] \mapsto 1+e^{2i\pi t}\in \mathbb{C}$ qui tourne autour de $1$ dans le sens horaire. On a alors
$$\int_{\gamma}\frac{1}{e^z-e}\mathrm{d}z=2i\pi e^{-1}$$car $\displaystyle\frac{1}{e^z-e}$ se développe comme $\displaystyle\frac{e^{-1}}{z-1}+o\left(\frac{1}{z-1}\right)$ quand $z$ tend vers $1$.