Comment Euclide démontre que les angles d’un triangle valent deux angles droits

Nous pouvons construire une droite $(CE)$ parallèle à $(AB)$ passant par $C$ (pour cette construction, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).

1. La droite $(AC)$ coupe les deux parallèles $(AB)$ et $(CE)$. Les angles $\widehat {BAC}$ et $\widehat {ACE}$ sont ainsi deux angles alternes-internes qui sont égaux (pour cette démonstration, voir le problème Quand des parallèles révèlent des angles), soit :
   $\bf \widehat {BAC}=\widehat {ACE}$ (1).

Par ailleurs, les angles $\widehat {ECD}$ et $\widehat {ABC}$ sont également égaux (pour cette démonstration, voir aussi le problème Quand des parallèles révèlent des angles), soit : $\bf \widehat {ECD}=\widehat {ABC}$ (2).

Or $\widehat {ACD}=\widehat {ACE}+\widehat {ECD}$ . Si l’on couple ceci avec les deux égalités (1) et (2), nous obtenons :

                                                   $\bf \widehat {ACD}=\widehat {ABC}+\widehat {BAC}$     (3)          ,  ce qu’il fallait démontrer

2. Les deux angles $\widehat {ACD}$ et $\widehat {BCA}$ sont deux angles adjacents supplémentaires, donc leur somme est égale à deux angles droits (pour la démonstration de ce point, voir le problème Une droite placée sur une autre... et les angles ?).

Si nous couplons ceci avec l’égalité (3), nous pouvons en conclure que la somme des trois angles du triangle est égale à deux angles droits, ce qu’il fallait démontrer.