Construction géométrique pour couper un segment en son milieu

Proposer une méthode de construction géométrique à la règle et au compas collapsible qui permette de couper un segment AB en son milieu.

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Euclide — Éléments

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Livre 1, proposition 10

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Solution by goldfinch

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Construire d’abord le point $C$ tel que le triangle $ABC$ soit équilatéral (pour cette construction, voir problème Méthode pour construire un triangle équilatéral).

Construire ensuite la droite passant par $C$ qui coupe l’angle $\widehat {ACB}$ en deux angles égaux (pour cette construction voir problème Construction géométrique pour couper un angle en deux angles égaux )

Cette droite coupe $AB$ en $D$ . Considérons maintenant les deux triangles $ADC$ et $CDB$ . Ils ont deux côtés égaux $AC=CB$ (par construction du triangle équilatéral), et $CD$ qui est commun aux deux, et ils ont aussi un angle identique en $C$ par construction ( $\widehat {ACD}=\widehat {DCB}$ ).
De cette configuration de deux triangles, on peut déduire que leurs bases AD et DB sont égales aussi (sur ce point , voir problème Egalité de triangles) , ce qu’il fallait démontrer.

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