Deux angles droits cachés dans un triangle

Soit un triangle $ABC$ dont on a prolongé le côté $BC$ jusqu’en $D$ .

Montrer que l’angle $\widehat {ACD}$ , extérieur au triangle, est égal à la somme des 2 angles opposés intérieurs $\widehat {ABC}$ et $\widehat {BAC }$ .
Montrer que la somme des 3 angles du triangle est égale à deux angles droits

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 32

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Solution by goldfinch

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Nous pouvons construire une droite $(CE)$ parallèle à $(AB)$ passant par $C$ (pour cette construction, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée).

La droite $(AC)$ coupe les deux parallèles $(AB)$ et $(CE)$ . Les angles $\widehat {BAC}$ et $\widehat {ACE}$ sont ainsi deux angles alternes qui sont égaux (pour cette démonstration, voir le problème Des parallèles aux angles), soit :
$\bf \widehat {BAC}=\widehat {ACE}$ (1).

Par ailleurs, les angles $\widehat {ECD}$ et $\widehat {ABC}$ sont également égaux (pour cette démonstration, voir aussi le problème Des parallèles aux angles), soit : $\bf \widehat {ECD}=\widehat {ABC}$ (2).

Or $\widehat {ACD}=\widehat {ACE}+\widehat {ECD}$ . Si l’on couple ceci avec les deux égalités (1) et (2), nous obtenons :

                                                                   $\bf \widehat {ACD}=\widehat {ABC}+\widehat {BAC}$      (3)          ,  ce qu’il fallait démontrer

Les deux angles $\widehat {ACD}$ et $\widehat {BCA}$ sont deux angles adjacents supplémentaires, donc leur somme est égale à deux angles droits (pour la démonstration de ce point, voir le problème Une propriété des angles adjacents et supplémentaires).

Si nous couplons ceci avec l’égalité (3), nous pouvons en conclure que la somme des trois angles du triangle est égale à deux angles droits, ce qu’il fallait démontrer.

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