Exemples de matrices inversibles ?

Les matrices suivantes sont elles inversibles ?
$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 4 \\ 8 & 16 & 32\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right),\quad C=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right).$

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Solution by darktoaster

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$A$ n’est pas une matrice carrée, la notion d’inversibilité pour les matrices non-carrées n’est pas définie.

La matrice $B$ , appelée matrice nulle (de taille $2$ ), n’est pas inversible.
En effet pour toute matrice carrée $M$ de taille $2$ , $BM = MB = 0 \ne I_2$

Pour la matrice $C$ , il existe plusieurs manières de montrer sa non-inversibilité.

$C$ a une colonne nulle
$C$ est une matrice de taille $2$ , donc on peut calculer explicitement son déterminant et montrer qu’il est nul, $\det(C) = 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$
ou bien revenir à la définition de l’inversibilité :
Soit $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ , $CM = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & c\end{pmatrix} \ne I_{2}$

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