Idempotent ou nilpotent, il faut choisir

Commençons par montrer que pour tout $a\in A$ nilpotent alors $a-1$ est inversible.
Soit $a\in A$ nilpotent, alors il existe $n\in\mathbb{N}^*, a^n=0$ on a alors
$$(a-1)(a^{n-1}+\dots+a+1)=a^n-1=-1$$Ainsi, $a-1$ est inversible.
On remarque ensuite que $-1$ étant inversible, d’inverse lui-même, il ne peut être nilpotent. Il est alors idempotent, c’est à dire que $(-1)^2=-1$ ou encore $-1=1$ donc $2=0.$
On attaque maintenant la preuve de la question. Soit $a$ nilpotent. Montrons que $a$ est idempotent. Puisque $a$ est nilpotent $a-1$ est idempotent donc
$$(a-1)^2=a^2-\underbrace{2a}_{{=0}}+1=a-1\text{ donc }a^2=a-2=a.$$(remarquez que cette identité remarquable est correcte car $a$ et $1$ commutent toujours). Donc $a$ est idempotent.