Norme issue d’un produit scalaire

Pour montrer que $f$ est une norme, on montre que $f$ vérifie l’inégalité triangulaire, l’homogénéité et la séparation.

Tout d’abord $f$ est bien définie, en effet : $\forall x \in E, \varphi(x, x) \geqslant 0$ par positivité de $\varphi$ comme produit scalaire. La composition de $x \mapsto \varphi(x,x)$ avec la racine carrée est donc licite. Cette composition assure par ailleurs la positivité de $f$ étant donné que la racine carrée est positive.

Remarque : La positivité de $f$ est automatiquement déduite via l’homogénéité et l’inégalité triangulaire que l’on démontrera :
$\forall x \in E, 0 = f(0) = f(x - x) \leqslant f(x) + f(-x) = f(x) + |-1| f(x) = 2f(x)$ , puis on simplifie par $2$.
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Soient $x, y$ dans $E$ et $\lambda \in \R$

Homogénéité

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$f(\lambda x) = \sqrt{\varphi(\lambda x, \lambda x)}$
$=\sqrt{\lambda \varphi(x, \lambda x)} = \sqrt{\lambda^2 \varphi(x, x)}$ par bilinéarité de $\varphi$ (linéarité à gauche et linéarité à droite)
$= \sqrt{\lambda^2}\sqrt{\varphi(x,x)} = |\lambda| \sqrt{\varphi(x,x)} = |\lambda| f(x)$
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Inégalité triangulaire

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Par les identités de polarisation : $\varphi(x+y,x+y) = \varphi(x,x) + 2\varphi(x,y) + \varphi(y,y)$
Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $\varphi(x, y) \leqslant \sqrt{\varphi(x,x)} \sqrt{\varphi(y,y)}$ donc $\varphi(x+y,x+y) \leqslant \varphi(x,x) + 2\sqrt{\varphi(x,x)}\sqrt{\varphi(y,y)} + \varphi(y,y)$
En reconnaissant une identité remarquable : $\varphi(x+y,x+y) \leqslant (\sqrt{\varphi(x,x)} + \sqrt{\varphi(y,y)})^{2}$
En passant à la racine carrée en sachant que $\varphi$ est positive : $\sqrt{\varphi(x+y,x+y)} \leqslant \sqrt{\varphi(x,x)} + \sqrt{\varphi(y,y)}$
En conclusion : $f(x+y) \leqslant f(x) + f(y)$
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Séparation

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Supposons que $f(x) = 0$
C’est-à-dire : $\sqrt{\varphi(x,x)} = 0$
ou encore : $\varphi(x,x) = 0$
$\varphi$ est définie positive, donc $x =0$
Ainsi on conclut que $f$ possède la propriété de séparation.