Espace compact

Intuition

Un certain nombre de "bonnes propriétés" sont automatiques pour les ensembles finis.
Par exemple, toute fonction réelle définie sur un ensemble fini admet un maximum et un minimum.
Certains ensembles infinis, comme l'intervalle fermé $[0,1]$, admettent des bonnes propriétés similaires : toute fonction continue sur $[0,1]$ admet un maximum et un minimum.

Un espace compact est donc un espace qui, sous certains aspects, se comporte comme un ensemble fini, ou du moins, "de taille gérable".

A l’inverse, des espaces trop grands (comme par exemple $\R$), ou ne contenant pas leur frontière (comme l’intervalle ouvert $]0,1[$), n’auront pas ces propriétés.

Définition par les recouvrements

Un espace topologique $X$ est compact si de tout recouvrement de $X$ par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini.