Espace connexe par arcs

Définition intuitive

Un espace est connexe par arcs lorsqu’on peut se déplacer continûment de n’importe quel point à n’importe quel autre sans jamais quitter l’espace : il est fait d’un seul morceau, et cette unité se constate par un chemin explicite. C’est la version « constructive » de la connexité, et c’est ce qui la rend si commode. La connexité tout court est une propriété négative, on ne peut pas couper l’espace en deux ouverts disjoints , parfois difficile à vérifier directement et souvent prouvée par l’absurde. La connexité par arcs, elle, se démontre en exhibant un chemin.

Définition formelle

Soit $X$ un espace topologique. Un chemin de $a$ à $b$ dans $X$ est une application continue
$$\gamma:[0,1]\longrightarrow X,\qquad \gamma(0)=a,\qquad \gamma(1)=b .$$L’espace $X$ est connexe par arcs si $X\neq\varnothing$ et si deux points quelconques de $X$ sont joints par un chemin.

Relation d’équivalence. La relation « $a\sim b$ s’il existe un chemin de $a$ à $b$ » est une relation d’équivalence :

• réflexivité : le chemin constant $\gamma\equiv a$ ;
• symétrie : $\overline{\gamma}(t)=\gamma(1-t)$ inverse le sens de parcours ;
• transitivité : la concaténation
  $$(\gamma_1*\gamma_2)(t)=\begin{cases}\gamma_1(2t) & t\in[0,\tfrac12],\\ \gamma_2(2t-1) & t\in[\tfrac12,1],\end{cases}$$continue par recollement sur deux fermés, les deux définitions coïncidant en $t=\frac12$.

Les classes d’équivalence sont les composantes connexes par arcs de $X$ ; l’espace est connexe par arcs si et seulement s’il en possède exactement une.

Théorème. Connexe par arcs $\Longrightarrow$ connexe.

Preuve. Supposons $X=U\sqcup V$ avec $U,V$ ouverts non vides disjoints. Choisissons $a\in U$, $b\in V$ et un chemin $\gamma$ de $a$ à $b$. Alors $[0,1]=\gamma^{-1}(U)\sqcup\gamma^{-1}(V)$ est une partition en deux ouverts non vides, ce qui contredit la connexité de $[0,1]$. $\square$

Réciproque partielle. Si $X$ est connexe et localement connexe par arcs, alors $X$ est connexe par arcs. En effet, les composantes connexes par arcs sont alors ouvertes, donc aussi fermées comme complémentaires d’une réunion d’ouverts ; la connexité impose qu’il n’y en ait qu’une.

Exemples

1. Cas élémentaires. $\mathbb{R}^{n}$, toute boule, tout convexe non vide, tout sous-espace affine, tout intervalle de $\mathbb{R}$.
2. Sphères. $S^{n-1}\subset\mathbb{R}^{n}$ est connexe par arcs pour $n\geqslant 2$, comme image continue de $\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$ par la projection radiale. Pour $n=1$, $S^{0}=\{-1,1\}$ ne l’est pas : c’est l’unique exception, et elle explique le rôle de l’hypothèse $n\geqslant 2$ dans beaucoup d’énoncés.
3. Groupes classiques. $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$, $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$, $\mathcal{SO}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{U}_n(\mathbb{C})$ sont connexes par arcs ; $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ ont exactement deux composantes.
4. Frontière d’un convexe. Si $C\subset\mathbb{R}^{n}$ est convexe borné d’intérieur non vide et $n\geqslant 2$, alors $\partial C$ est homéomorphe à $S^{n-1}$, donc connexe par arcs.
5. Contre-exemple (connexe mais pas par arcs). La sinusoïde du topologue ci-dessus. On peut en construire des variantes plus pathologiques encore, comme le cercle de Varsovie, connexe, de groupe fondamental trivial, mais non contractile.
6. Contre-exemple (adhérence). L’ensemble $\{(x,\sin\frac1x)\}$ seul est connexe par arcs (homéomorphe à $]0,1]$) mais son adhérence ne l’est plus : la propriété n’est pas préservée par passage à l’adhérence.
7. Contre-exemple (composantes non ouvertes). Dans $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$, les composantes connexes par arcs sont les singletons : l’espace est dit totalement discontinu, sans être discret.