Groupe

Définition intuitive

Autour de nous réside la notion de symétrie. On remarque par exemple qu’une sphère que l’on tourne reste la même sphère, que l’image de notre main droite dans le miroir donne notre main gauche, et réciproquement, ou encore qu’un carré qui tourne d’un quart de tour reste un carré.

Ces systèmes sur lesquels on pourrait considérer divers questionnement, comme l’orbite satellitaire de la Lune autour de la Terre, la chimie des molécules qui diffèrent de leur reflet ou encore la manière de compter le nombre de colliers faisables avec un ensemble donné de perles colorés, sont difficiles à traiter en soi, alors qu’ils possèdent des propriétés symétriques remarquables ! On sait d’ailleurs que leur solution se doit d’avoir des propriétés similaires de celles du système de base, et c’est justement pourquoi on définit la notion de groupe et d’action de groupe. On cherche ainsi, par cette méthode, à comprendre les transformations laissant invariant un système, afin de les résoudre plus efficacement.

Un exemple simple serait de voir que l’équation $x^4+x^2+1=0$ est difficilement résoluble en soi car on ne sait résoudre des équations de degré $4$. Pourtant, on voit qu’elle est invariante en changeant $x$ en $-x$, donc trouver une solution $x$ de cette équation nous permet d’acquérir une deuxième solution $-x$ de la même équation. Ainsi, on se ramène à trouver deux solutions de l’équation, et donc à résoudre une équation d’ordre $2$, tout cela grâce à l’observation d’une symétrie.

Définition formelle

Un groupe est un ensemble $G$ équipé d’une opération binaire $*:G\times G \rightarrow G$ vérifiant les propriétés suivantes :

1. Associativité : pour tous $a,b,c\in G$, $(a*b)*c=a*(b*c)$.
2. Elément neutre : Il existe un élément $e\in G$ tel que $e*a=a*e=a$ pour tout $a\in G$.
3. Inverses : pour tout $a\in G$, il existe un élément $a^{-1}\in G$ tel que $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$.

Remarques

• Lorsque le contexte est clair, l’opération $*$ est souvent omise, et on écrit $ab$ au lieu de $a*b$.
• Un groupe tel que l’opération associée $*$ est commutative est appelé groupe commutatif, ou abélien.
• Pour tout ensemble $E$ stable par une loi $*$ associative et possédant un élément neutre, on note $E^{\times}$ l’ensemble de ses éléments inversibles. C’est le plus grand groupe contenu dans $E$.
  Lorsque ($E,*$) est un groupe alors tous ses éléments sont inversibles et donc $E^{\times}=E$.

Exemples

• L’ensemble des entiers $\Z$ muni de l’addition $+$ est un groupe, mais ce n’est pas un groupe pour la multiplication $\times$ car $0$ ne possède par exemple pas d’inverse dans $\Z$.
• L’ensemble des rationnels $\mathbb{Q}^*$ privé de $0$, muni de la multiplication, est un groupe. Au même titre que $\R^*$ ou encore $\mathbb{C}^*$.
• L’ensemble des matrices réelles inversibles de taille $n$, soit $\mathrm{GL}_n(\R)$, est le plus grand groupe de matrices inversibles réelles de taille $n$. Soit $\mathcal{M}_n(\R)^{\times}=\mathrm{GL}_n(\R)$.