Sous-groupe normal

Un sous-groupe $N$ d’un groupe $G$ est un sous-groupe normal (appelé aussi distingué) de $G$ si, pour tout $g \in G$,
$$gN = Ng.$$C’est exactement la bonne notion de groupe qui permet de considérer le groupe quotient^EN $G/N$.

Exemples:
$\bullet$ Les groupes triviaux $\{e\}$ et $G$ sont des sous-groupes normaux de $G$.
$\bullet$ Tout sous-groupe d’un groupe abélien est normal.
$\bullet$ L’ensemble $\{(12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$ est un sous-groupe normal du groupe des permutations $\mathfrak{S}_4$.
$\bullet$ L’ensemble des permutations de taille $n$ et de signature $1$, le sous-groupe alterné, est un sous-groupe normal de $\mathfrak{S}_n$