Sous-groupe

Définition intuitive

Montrer qu’un ensemble est un groupe peut être long et fastidieux, notamment pour vérifier l’associativité de la loi de composition interne. Lorsque cet ensemble est inclus dans un groupe déjà connu, on peut en tirer parti : si on munit le sous-ensemble de la restriction de la loi du groupe ambiant, l’associativité se déduit automatiquement — l’égalité $(a∗b)∗c=a∗(b∗c)$, vraie dans le groupe ambiant pour tous éléments, reste vraie en particulier pour des éléments du sous-ensemble.

Il ne reste alors à vérifier que trois choses : que le sous-ensemble est non vide (ou, de façon équivalente, qu’il contient le neutre), qu’il est stable par la loi (le produit de deux éléments du sous-ensemble y reste), et qu’il est stable par passage à l’inverse (l’inverse d’un élément du sous-ensemble y reste aussi).

Définition formelle

Un sous-groupe d’un groupe $(G,*)$ est un sous-ensemble $H\subseteq G$ munie d’une structure de groupe pour la même loi de composition $*$ de G.

On a la caractérisation d’un sous-groupe:
$$H \text{ sous-groupe de } G \Longleftrightarrow \begin{cases} H \subseteq G\\ H\neq \emptyset \\\forall x,y\in H, x*y \in H \\ \forall x \in H, x^{-1}\in H\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} H \subseteq G\\ H\neq \emptyset \\ \forall x,y \in H, x*y^{-1} \in H\end{cases}$$

Exemples

• $(\mathbb{Q},+)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C},+)$
• $(\mathcal{U}_{n},\times)$ (racines $n$-ièmes de l’unité) est un sous-groupe de $(\mathbb{C^{*}},\times)$