Topologie

Définition formelle

Une topologie sur un ensemble $X$ est un ensemble $\tau$ de parties de $X$ appelé ouverts, tel que :

1. L'ensemble vide et l’espace total $X$ sont des ouverts.

   $\varnothing\in \tau$ et $X\in \tau$.

2. Toute union quelconque d’ouverts est un ouvert.

   Si$\{U_{i}\}_{i\in I}$ est une famille d’élément de $\tau$, alors $\bigcup\limits_{i \in I} U_i \in \tau$.

3. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.

   Si $U_1, \ldots, U_n \in \tau$, alors $U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau$.

Remarques

Un ensemble $X$ muni d’une topologie $\tau$ est appelé un espace topologique.

Exemples

• La topologie triviale composée de l’ensemble vide et de l’espace total : $\{\varnothing,X\}$.
• Dans les réels, la topologie engendrée par les intervalles ouverts.