Valeur propre d’une matrice

Définition générale :

Soit $\mathbb{K}$ un corps.

• Cas endomorphisme:
  Soit $E$ un un $\mathbb{K}$-ev, $f\in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme. Soit $\lambda\in \mathbb{K}$.
  On dit que $\lambda$ est une valeur propre de $f$ lorsque :
  $$\exists v \in E\setminus\{0\} \;\text{tel que}\; f(v)=\lambda v .$$
• Cas matricielle:
  Soit $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, Soit $\lambda\in \mathbb{K}$.
  On dit que $\lambda$ est une valeur propre de $A$ lorsque :
  $$\exists v \in E\setminus\{0\} \;\text{tel que}\; Av=\lambda v.$$

$\textbf{Vocabulaire :}$
Le vecteur $v$ est alors appelé vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$.

$\textbf{Lien entre les deux définitions :}$
Lorsque $A$ est la matrice de $f$ dans une base de $E$, notée $\mathrm{Mat}_B(f)$, alors les deux définitions sont équivalentes.

Définition dans le cas de $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$:

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée,
On dit qu’un réel $\lambda$ est une valeur propre de $A$ s’il existe un vecteur non nul $v \in \mathbb{R}^n$ tel que
$$A v = \lambda v.$$