An impossible matrix equation

Supposons l’existence d’une telle matrice. Comme le polynôme caractéristique de $A$ est un polynôme réel de degré impair, il possède nécessairement une valeur propre réelle. Soit alors $t$ une valeur propre réelle de A. Donc $-t^{2}-1$ est une valeur propre de $-A^{2}-I_{3}=A^{T}$ donc de $A$ car $A$ et $A^{T}$ possèdent le même spectre (réel et complexe). Ainsi, par récurrence, tous les termes de la suite définie par récurrence par $a_{0}=t, a_{n+1}=-a_{n}^{2}-1=a_{n}-P(a_n)$ où $P=1+X+X^{2}$ sont dans le spectre (réel et complexe) de $A$. Mais cette suite est strictement décroissante (car $\forall n, a_{n+1}-a_{n}=-P(a_n)$, et $\forall x\in \R, P(x)=(x+1/2)^{2}+3/4\ge 3/4>0$) donc $A$ possède une infinité de valeurs propres distinctes. Contradiction.

::: conclusion : pas de solution.

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On va montrer par l’absurde qu’il n’existe pas de telle matrice. Supposons qu’il existe $A$ vérifiant cette relation. Alors, en passant à la transposée dans la relation on a
$$(A^{T})^{2}+A=-I_{3}\Leftrightarrow (A^{2}+I_{3})^{2}+A+I_{3}=0\Leftrightarrow A^{4}+2A^{2}+A+2I_{3}=0.$$Autrement dit, $A$ est annulée par le polynôme $P=X^{4}+2X^{2}+X+2\in\mathbb{R}[X].$ En passant à la forme canonique dans le trinôme $P-X^{4}$ on a l’expression
$$P=X^{4}+2\left(X+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}.$$Par conséquent, $\forall x\in\mathbb{R},P(x)\geq \dfrac{1}{2}>0$. Le polynôme $P$ n’a donc que des facteurs irréductibles de degré $2$ dans sa décomposition en irréductibles dans $\mathbb{R}[X].$ Ses racines ne sont donc pas réelles. Ainsi, le spectre de $A$, contenu dans l’ensemble des racines de $P$, est formé de complexes (non réels) conjugués deux à deux. On en déduit que $\chi_{A}$ est un polynôme unitaire de degré $3$ sans racine réelle ce qui contredit, au choix, le théorème des valeurs intermédiaires (car$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim} \chi_{A}(x)=+\infty$ et $\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim} \chi_{A}(x)=-\infty$) ou la décomposition en irréductibles de $\mathbb{R}[X]$(car un polynôme à coefficients réels de degré impair possède nécessairement un irréductible de degré $1$ dans sa décomposition).

Supposons avoir une matrice solution de ce problème.
Décomposons $A=B+C$ avec $B$ symétrique, $C$ antisymétrique, et $BC=-CB$ (c’est la décomposition classique d’une matrice quelconque, car $B=\dfrac{1}{2}\left(A+^{T}A\right)$ et $C=\dfrac{1}{2}\left(A-^{T}A\right)$).
La relation devient
$$B^2 +C^2 +B -C =-I$$En identifiant les parties symétriques et antisymétriques, on obtient deux relations :
(1)Sur la partie antisymétrique, on obtient directement C=0 ($C^{2}$ est une matrice symétrique)
(2)Sur la partie symétrique combinée au point précédent, on obtient $B^{2}+B=-I$
B étant symétrique, d’après le théorème spectral on peut écrire $B=PD^{T}P$ avec $D$ diagonale réelle et $P$ orthogonale. En multipliant la relation par $^TP$ à gauche et $P$ à droite, on obtient $D^{2}+D+I=0$. Mais alors les éléments diagonaux de $D$ appartiennent à $\left\lbrace j \; ; \; j^{2} \right\rbrace$, qui ne sont pas des nombres réels.

Conclusion : l’équation proposée n’a aucune solution, $\underline{\text{et ce, quelle que soit la taille de l'espace des matrices carrées.}}$