Propriétés de la transconjuguée

Pour une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\C)$ , on note $A^{*}$ la matrice adjointe de $A$ définie par $A^{*} = \bar{A}^{T}$ où l’on conjugue tous les coefficients puis on transpose. On appelle parfois l’opération $*$ la transconjuguée.
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Le but de cet exercice est d’établir quelques propriétés de la transconjuguée.

$\textbf{1) Semi-linéarité de la transconjuguée :}$ Soient $A$ , $B$ dans $\mathcal{M}_{m,n}(\C)$ et $\lambda$ dans $\C$ . Montrer que $(\lambda A + B)^{*} = \overline{\lambda} A^{*} + B^{*}$
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$\textbf{2) Involutivité de la transconjuguée :}$ Soit $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\R)$ . Montrer que $A = (A^{*})^{*}$ .
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$\textbf{3) Transconjugaison d'un produit :}$ Soient $A, B \in \mathcal{M}_{m,n}(\R)$ . Montrer que $(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$

$\textbf{4) Transconjugaison d'une puissance :}$ Soient $A \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ et $p \in \N$ . Montrer que $(A^{p})^{*} = (A^{*})^{p}$

$\textbf{5) Transconjugaison et inverse :}$ Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ inversible. Montrer que $A^{*}$ est inversible et que $(A^{-1})^{*} = (A^{*})^{-1}$ $\newline$

$\newline$ $\textbf{6) Trace et transconjuguée :}$ Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ . Montrer que $\mathrm{tr}(A^{*}) = \overline{\mathrm{tr}(A)}$

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Question 1

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Soient $i \in [\![1,m]\!]$ et $j\in [\![1,n]\!]$
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$[(\lambda A + B)^{*}]_{i,j} = [\overline{\lambda A + B}]_{j,i} = \overline {\lambda} [\bar A]_{j,i} + [\bar B]_{j,i} = \overline{\lambda} [{\bar A}^{T}]_{i,j} + [\bar{B}^{T}]_{i,j} = \overline{\lambda} [A^{*}]_{i,j} + [B^{*}]_{i,j} = [\overline{\lambda} A^{*} + B^{*}]_{i,j}$
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Par égalité des coefficients, on déduit que : $(\lambda A + B)^{*} = \overline{\lambda} A^{*}+ B^{*}$
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Question 2

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En une phrase : On inverse les lignes et colonnes de $A$ et on conjugue, puis on réinverse les lignes et les colonnes de la transposée et on reconjugue, on retombe sur nos pattes.
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La transposée et la conjugaison complexe sont deux involutions donc la transconjugaison est aussi une involution.

Question 3

Soient $i \in [\![1,m]\!]$ et $j\in [\![1,n]\!]$
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$[(AB)^{*}]_{i,j} = [\overline{AB}]_{j,i} = [\overline{A} \cdot \overline{B}]_{j,i} = \sum\limits_{k = 1}^n [\overline A]_{j,k} [\overline B]_{k,i} = \sum\limits_{k = 1}^n [\overline A^{T}]_{k,j} [\overline B ^{T}]_{i,k} = \sum\limits_{k = 1}^n [B ^{*}]_{i,k} [A^{*}]_{k,j} = [B^* A^*]_{i,j}$
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Par égalité des coefficients, on déduit que : $(AB)^{*} = B^{*} A^{*}$

Question 4

On applique le résultat sur les produits
$(A^{p})^{*} = (A \cdots A)^{*} = A^{*} \cdots A^{*} = (A^{*})^{p}$

On peut démontrer plus rigoureusement ce résultat par récurrence.

Question 5

Comme $A$ est inversible, en notant $A^{-1}$ son inverse : $A A^{-1} = A^{-1}A= I_{n}$

En passant à la transconjuguée, en se servant de la propriété sur les produits et en utilisant le fait que $I_{n}^{*} = I_{n}$ car la matrice identité est diagonale et à coefficients réels.
: $(A^{-1})^{*} A^{*} = A^{*} (A^{-1})^* = (I_{n})^* = I_{n}$

$A^{*}$ est également inversible d’inverse $(A^{-1})^{*}$ . On écrit alors $(A^{*})^{-1} = (A^{-1})^*$

Question 6

En une phrase : on ne change pas la diagonale d’une matrice en la transposant, donc le calcul de la trace de la transconjuguée se ramène à conjuguer la trace.
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Soit $i \in [\![1,n]\!]$
$[A^{*}]_{i,i} = [\overline {A}]_{i,i} = \overline{[A]_{i,i}}$
Les coefficients $A$ et $A^{*}$ sont conjugués.
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D’où $\mathrm{tr}(A^{*}) = \sum\limits_{i = 1}^n [A^{*}]_{i,i} = \sum\limits_{i = 1}^n \overline{[A]_{i,i}} = \overline{ \sum\limits_{i=1}^n [A]_{i,i}} = \overline{\mathrm{tr}(A)}$

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