Valeurs rationelles de $\cos(r\pi)$

Soit $r=p/q\in\mathbb{Q}$ tel que $x=\cos(r\pi)\in\mathbb{Q}$. L’identité $2\cos((n+1)\theta)=(2\cos\theta)(2\cos n\theta)-2\cos((n-1)\theta)$ définit une suite de polynômes $(P_n)$ tels que $2\cos(n\theta)=P_n(2\cos\theta)$ (on adapate les Polynomes de Tchebychev). Ainsi $P_{n}$ est à coeficients entiers et est unitaire. Donc $2x$ est un entier algebrique rationel. C’est donc un entier. Or $2x\in[-2,2]$, donc $2x\in\{-2,-1,0,1,2\}$ et $\cos(r\pi)\in\{-1,-1/2,0,1/2,1\}$. Et $r$ peut donc etre $\frac{1}{3}\mathbb{Z}\cup\left(\frac{1}{2}+\mathbb{Z}\right)$

Soit $r=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ tel que $\cos(r\pi) \in \mathbb{Q}$.
On définit par récurrence le polynôme $P_{n}$ de degré $n$ suivant la relation:
$$P_{n}\left(X+\frac{1}{X}\right)=X^{n}+\frac{1}{X^{n}}$$On pose $P_{0}=2$ et$P_{1}=X$
Supposons qu’il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $P_{n}$ et $P_{n-1}$ construits. Construisons $P_{n+1}$:
$$\left(X^{n}+\frac{1}{X^{n}}\right)\left(X+ \frac{1}{X} \right) = X^{n+1}+\frac{1}{X^{n+1}}+X^{n-1}+\frac{1}{X^{n-1}}$$On pose donc $P_{n+1}=XP_{n}-P_{n-1}$
Par construction $P_{n}$ est unitaire de degré $n$ et dans $\mathbb{Z}[X]$.

On remarque que $\forall \theta \in \mathbb{R}, P_{n}(e^{i \theta}+\frac{1}{e^{i \theta}})=P_{n}(2\cos(\theta))=(e^{i \theta})^{n}+\frac{1}{(e^{i \theta})^{n}}=2\cos(n\theta)$

On considère alors le polynôme $Q=P_{q}-2\cos(p\pi) \in \mathbb{Z}[X]$, car $\cos(p\pi) \in \{-1,1\}$
On remarque que $Q(2\cos(r\pi))=P_{q}(2\cos(\frac{p\pi}{q}))-2\cos(p\pi)=0$, donc $2\cos(r\pi)$ est racine de $Q$.

On utilise le résultat (voir problèmes liés) que comme $Q$ à coefficients entiers et unitaire et $2\cos(r\pi)$ une racine rationelle, alors $2\cos(r\pi) \in \mathbb{Z}$

Donc $\cos(r\pi) \in \{-1,-1/2,0,1/2,1\}$
Il vient alors que
$$r \in \frac{1}{3}\mathbb{Z} \cup \frac{1}{2}\mathbb{Z}$$

Réciproquement, cet ensemble convient bien.