Valeurs rationelles de $\cos(r\pi)$

Soit $r=p/q\in\mathbb{Q}$ tel que $x=\cos(r\pi)\in\mathbb{Q}$. L’identité $2\cos\big((n+1)\theta\big)=(2\cos\theta)(2\cos n\theta)-2\cos\big((n-1)\theta\big)$ définit une suite de polynômes $(P_n)$ tels que $2\cos(n\theta)=P_n(2\cos\theta)$ (on adapte les polynômes de Tchebychev). Ainsi $P_{n}$ est à coefficients entiers et est unitaire. Donc $2x$ est un entier algébrique rationnel. C’est donc un entier. Or $2x\in[-2,2]$, donc $2x\in\{-2,-1,0,1,2\}$ et $\cos(r\pi)\in\{-1,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1\}$. Et donc $r$ appartient à $\frac{1}{3}\mathbb{Z}\cup\left(\frac{1}{2}+\mathbb{Z}\right)$.

Supposons qu’il existe $r=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ tel que $\cos(r\pi) \in \mathbb{Q}$.

Une idée serait de penser aux polynômes de Tchebychev:
$$T_{q}(\cos(r\pi))=\cos(p\pi)$$On pourrait alors s’intéresser au polynôme à coefficients entiers $T_{q}-\cos(p\pi)$, dont $\cos(r\pi)$ est racine. Si $T_{q}-\cos(p\pi)$ était un polynôme unitaire (ici son coefficient dominant vaut $2^{q}$), on pourrait utiliser le résultat (voir problèmes liés) que $\cos(r\pi)\in\mathbb{Z}$, ce qui permettrait de quasiment conclure l’exercice. Il faudrait donc considérer un autre polynôme possédant des propriétés similaires, à coefficients entiers et unitaire.

On propose un tel polynôme dans la suite:
Soit $n \in \mathbb{N^{*}}$
On remarque que

$$\left(X^{n}+\frac{1}{X^{n}}\right)\left(X+ \frac{1}{X} \right) = X^{n+1}+\frac{1}{X^{n+1}}+X^{n-1}+\frac{1}{X^{n-1}}$$

D’où
$$X^{n+1}+\frac{1}{X^{n+1}}=\left(X^{n}+\frac{1}{X^{n}}\right)\left(X+ \frac{1}{X} \right)-\left(X^{n-1}+\frac{1}{X^{n-1}}\right)$$

On définit alors par récurrence le polynôme $P_{n}$ par:
$$\begin{cases} P_{0} = 2 \\ P_{1} = X \\ P_{n+1}=XP_{n}-P_{n-1} \end{cases}$$

Par récurrence immédiate, le polynôme $P_{n}$ est unitaire à coefficients entiers et vérifie la relation:
$$P_{n}\left(X+\frac{1}{X}\right)=X^{n}+\frac{1}{X^{n}}$$

On remarque que $\forall \theta \in \mathbb{R}, P_{n}(e^{i \theta}+\frac{1}{e^{i \theta}})=P_{n}(2\cos(\theta))=(e^{i \theta})^{n}+\frac{1}{(e^{i \theta})^{n}}=2\cos(n\theta)$

On considère alors le polynôme $Q=P_{q}-2\cos(p\pi) \in \mathbb{Z}[X]$, car $\cos(p\pi)=(-1)^{p}\in\mathbb{Z}$
On remarque que $Q(2\cos(r\pi))=P_{q}(2\cos(\frac{p\pi}{q}))-2\cos(p\pi)=0$, donc $2\cos(r\pi)$ est racine de $Q$.

On utilise le résultat (voir problèmes liés) que comme $Q$ à coefficients entiers et unitaire et $2\cos(r\pi)$ une racine rationelle, alors $2\cos(r\pi) \in \mathbb{Z}$

Donc $\cos(r\pi) \in \{-1,-1/2,0,1/2,1\}$
Il vient alors que
$$r \in \frac{1}{3}\mathbb{Z} \cup \frac{1}{2}\mathbb{Z}$$

Réciproquement, cet ensemble convient bien.

$r=0, 1, 1/2$ conviennent et la fonction $x$ donne $\cos(\pi x)$ est paire et 1- périodique. On peut donc supposer que $r\in]0;1[$, puis, comme si $r$ convient $1-r$ convient, on peut supposer que $r\in I:=]0;1/2[$ On écrit $r:=p/q$ avec $p,q$ entiers naturels non nuls. On note $x:=\cos(\pi r)$ et cherche donc les $r\in I$ tels que $x\in \Q$ et $x\in J:=]0;1[$
Les racines dans $\C$ de l’équation $X^{2q}-1=0$ sont des entiers algébriques, donc la somme de deux quelconques de ces racines est un entier algébrique (l’ensemble des entiers algèbriques possède une structure d’anneau) en particulier $2cos(2\pi p/2q)=2x$ est un entier algébrique. On rappelle qu’un nombre rationnel qui est un entier algébrique est un entier relatif. Donc $2x$ est un entier relatif et comme c’est le double d’un certain cosinus c’est un entier de valeur absolue inférieure ou égale à 2. Ainsi $2x$ appartient à $[|-2;2|]$ et comme par ailleurs $x\in J$ on a nécessairement $x=1/2$ d’où $r=1/3$. On vérifie que $1/3$ convient et donc c’est le seul rationnel qui convient dans $I$. Dans $]-1;1[$ l’ensemble des rationnels qui conviennent est $\{0;1/3;1/2; 2/3;-1/3;-1/2;-2/3\}$, par symétries $r$ donne $1-r$ et $r$ donne $-r$ et car $0$ et $1/2$ conviennent. Puis par 1-périodicité l’ensemble des rationnels $r$ recherchés est $1/3\Z\cup 1/2\Z$.