Fonction périodique

Une fonction $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est périodique s’il existe un réel $T \neq0$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$,

$(1)$$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f(x) = f(x+T)$.

Par exemple, les fonctions trigonométriques $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$, $\mathrm{tan}$ sont périodiques pour $T = 2\pi$. Les fonctions constantes sont aussi périodiques puisque n’importe quel réel non nul $T$ satisfait l’équation qui définit la périodicité.

$\mathbf{Attention}$ ! Cette définition est subtile. Les fonctions périodiques usuelles sont dotées d’une $\textbf{période principale}$, c’est-à-dire d’un plus petit réel $T >0$ qui satisfait $(1)$. Par exemple, la fonction $\tan$ possède $\pi$ pour période principale tandis que $2\pi$ est la période principale de $\cos$ et $\sin$.
Une fonction périodique n’a pas nécessairement de période principale, par exemple la fonction $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ satisfait $(1)$ pour tout rationnel non nul $T$, et il n’existe pas de « plus petit rationnel strictement positif », donc pas de période principale.