Intervalle fermé

Définition intuitive

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Dans $\mathbb{R}$ (l’ensemble des nombres réels), les intervalles fermés sont les intervalles qui contiennent leurs bornes inférieures et supérieures sauf si les bornes en questions sont infinies.
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Dans $\bar{\mathbb{R}}$ (la droite réelle achevée), les intervalles fermés sont les intervalles qui contiennent leurs bornes inférieures et supérieures.

Définition formelle

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Dans $\mathbb{R}$ (resp. $\bar{\mathbb{R}}$), les intervalles fermés sont exactement les intervalles qui sont fermés dans $\mathbb{R}$ (resp. $\bar{\mathbb{R}}$).
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Dans $\mathbb{R}$, les intervalles fermés sont les intervalles de la forme :

• L'ensemble vide : $\varnothing$ ;
• Les singletons $\{a\}$ où $a \in \mathbb{R}$ ;
• Les segments : $[a,b]$ où $a < b$ sont des réels ;
• Les intervalles minorés non-majorés : $[a, +\infty[$ où $a \in \mathbb{R}$ ;
• Les intervalles majorés non-minorés : $]{-}\infty, a]$ où $a \in \mathbb{R}$ ;
• La droite réelle : $\mathbb{R} = {}]{-}\infty , +\infty[$.
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  Dans $\bar{\mathbb{R}}$, les intervalles fermés sont les intervalles de la forme :
• L’ensemble vide : $\varnothing$ ;
• Les singletons $\{a\}$ où $a \in \mathbb{R}$ ;
• Les segments de $\mathbb{R}$ : $[a,b]$ où $a < b$ sont des réels ;
• $[a, +\infty]$ où $a \in \mathbb{R}$ ;
• $[-\infty, a]$ où $a \in \mathbb{R}$ ;
• La droite réelle achevée : $\bar{\mathbb{R}} = [-\infty , +\infty]$.
  On peut écrire tous ces intervalles comme cela : $[a,b]$ où $a$ et $b$ sont dans $\bar{\mathbb{R}}$. Dans le cas où $a > b$, $[a,b] =\varnothing$.