Morphisme d’anneaux

Définition intuitive

Un morphisme d’anneaux est une application entre deux anneaux qui conserve en partie la structure de l’anneau de départ.

Définition formelle

Soit $A,B$ deux anneaux, $\varphi : A \rightarrow B$ est un morphisme d’anneaux si $\forall a_{1},a_{2}\in A,$
$$\varphi (1_{A}) = 1_{B}$$$$\varphi (a_{1}+a_{2}) = \varphi(a_{1})+\varphi (a_{2})$$$$\varphi (a_{1}a_{2}) = \varphi(a_{1})\varphi (a_{2})$$

Exemples

• L’application définie par $n\in\mathbb{Z}\mapsto \underbrace{1_{A}+\cdots+1_{A}}_{n\text{ fois}}\in A$ est un morphisme d’anneaux permettant de définir la caractéristique de $A.$
• Pour $I$ un idéal de $A$, l'application canonique de réduction modulo $I$, $\pi\colon A\to A/I$ est un morphisme d’anneaux.
• Les évaluations polynomiales sont aussi des morphismes d’anneaux.