Morphisme de groupes

Définition

Soient $(G,*)$ et $(H,\cdot)$ deux groupes. Une application $f:G \rightarrow H$ est un morphisme de groupes si pour tous $a,b\in G$ :
$$f(a*b)=f(a)\cdot f(b).$$

Remarques

• $f(e_G)=e_H$.
• $\forall x \in G, \, f(x^{-1})=f(x)^{-1}.$
• Soit $K$ un sous-groupe de $H$, alors $f^{-1}(K)$ est un sous-groupe de $G$.
  En particulier, $f^{-1}(\{e_{H}\})=Ker(f)$ est un sous-groupe distingué de $G$.
• Soit $F$ un sous-groupe de $G$, alors $f(F)$ est un sous-groupe de $H$.
  En particulier, $f(G)=Im(f)$ est un sous-groupe de $H$.