Determinant of a block matrix = determinant of a 2×2 matrix ?

Let $A,B,C,D\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{R})$ be squares matrices such that $AC=CA$ , We want to compute thedeterminant^FR $\det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix}$ .

For now, suppose that $A$ is an invertible matrix^FR.

a) Compute $\begin{pmatrix} I_n & 0_n\\ -CA^{-1} & I_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix}$ .

1) b) Deduce that $\det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix}=\det(AD-CB)$ .

We no longer assume that $A$ is invertible

2) a) Demonstrate that $A(t):=A+tI_n$ is invertible except for finitely many real numbers $t$ .

2) b) Deduce that the result still holds when $A$ is not invertible. Explain the title of this problem.

3) We no longer suppose that $AC=CA$ but that $BD=DB$ , how can we conclude in this case ?

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Solution by SequoiaFR

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a) Le calcul par blocs nous donne $\begin{pmatrix} A & B\\ 0_n & D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$ .
b) En passant au déterminant dans l’égalité précédente (sachant que nos matrices introduites sont de déterminant calculable car diagonales par blocs, ou juste triangulaire), on trouve que:
$\det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix}=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)=\det(AD-ACA^{-1}B)=\det(AD-BC)$ Où la dernière égalité vient du fait que $AC=CA$ .

2) a) $\det(A+tI_n)$ est un polynôme en $t$ (développer selon chaque colonne pour s’en convaincre). Ainsi il n’a qu’un nombre fini de zéros donc $A+tI_n$ est inversible sauf pour un nombre fini de valeurs de $t$ .

2) b) On prend $t$ assez proche de $0$ pour que $A+tI_n$ soit toujours inversible (sauf peut-être pour $t=0$ ). Ainsi on peut appliquer notre calcul du 1) b) à $A+tI_n$ car elle est inversible et commute avec $C$ . Le déterminant étant une fonction continue^FR en $t$ car polynomiale, on peut alors faire tendre $t$ vers zéro et en déduire qu’on a le même résultat pour $A$ non-inversible.
Le titre de l’exercice vient du fait que le déterminant d’une matrice de taille $2\times 2$ qui prend la forme $\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ vaut $ad-cb$ , soit de la même forme que ce qu’on a ici. Mais bien sûr on a besoin de l’hypothèse de commutativité de $A$ et de $C$ comme on l’a vu précédemment en 1) b) sinon le déterminant devient bien moche...

3) Par échange de lignes, on peut échanger les places de $A$ et $B$ en respectivement $C$ et $D$ (on aura alors réalisé $n$ échanges de lignes et ainsi le résultat sera vrai à $(-1)^n$ près car le déterminant est une forme alternée). Ainsi on se ramène au cas précédent à cet échange de matrices près, le déterminant vaudra alors $(-1)^n\det(BC-DA)$ , qui vaut $\det(DA-BC)$ en faisant rentrer le $-$ . Soit l’inverse de ce qu’on avait avant.
Remarque: Cet exercice pourra être utile quand on se confrontera à des calculs de polynôme caractéristique^FR de matrices par blocs, et ainsi déterminer le spectre de ce genre de matrices. Voir la partie sur la réduction pour mieux comprendre.

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