Ensemble fermé

Définition

• Cas général
  Soit $X$ un espace topologique. Un sous-ensemble $A\subseteq X$ est fermé dans $X$ si son complémentaire $X\backslash A$ est un ensemble ouvert.

• Cas d’un espace métrique
  Soit $(X,d)$ un espace métrique. On dit qu’un ensemble $A\subseteq X$ est fermé si
  $$\forall (x_n)_{n\in\mathbb N}\in A^{\mathbb N},\quad (\exists x\in X,\quad x_n\to x) \Longrightarrow x\in F.$$

Autremen dit, si toutes suites à valeurs dans $A$ qui converge dans $X$ converge vers un élément de $F$.