$p$-groupe

Définition intuitive

Un $p$-groupe est un groupe dont toute la structure est gouvernée par un unique nombre premier $p$ : son cardinal est une puissance de $p$, et l’ordre de chacun de ses éléments
aussi. Ce sont en quelque sorte les « briques élémentaires » attachées à $p$ dans la théorie
des groupes finis, ce que les théorèmes de Sylow rendent précis en montrant que tout groupe
fini se décompose, du point de vue de chaque premier $p$, autour de ses $p$-sous-groupes
maximaux. Leur intérêt vient de leurs propriétés très rigides : un $p$-groupe fini non
trivial possède toujours un centre non trivial, il est nilpotent, et il admet une suite de
sous-groupes emboîtés d’indices $p$ successifs, autant de contraintes qui n’ont pas
d’analogue pour un groupe fini quelconque.

Définition formelle

Soit $p$ un nombre premier. Un $p$-groupe est un groupe d'ordre
$$|G|=p^{n}$$pour un certain $n\geq 0$.

Remarques

• Pour les groupes finis, la condition $|G|=p^n$ est équivalente au fait que tout élément de $G$ soit d’ordre une puissance de $p$ (ce qui fait l’objet d’un exercice ci-dessous).
  Pour les groupes infinis, cette dernière propriété définit les $p$-groupes de torsion ; certains auteurs les appellent simplement $p$-groupes.

• Un $p$-groupe fini non trivial a un centre non trivial (c’est l’objet de ce problème).

Exemples

1. Le groupe cyclique $\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}$ est un $p$-groupe, et c’est le seul $p$-groupe cyclique d’ordre $p^{n}$ à isomorphisme près.
2. $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{n}$ est un $p$-groupe abélien élémentaire, d’ordre $p^{n}$. Vu comme $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel de dimension $n$, ses sous-groupes sont exactement ses sous-espaces.
3. Pour $p=2$ : il y a cinq groupes d’ordre $8$ à isomorphisme près, dont deux non abéliens, le groupe diédral $D_4$ des isométries du carré et le groupe des quaternions $Q_8$.
4. Le groupe $U_n(\mathbb{F}_p)$ des matrices triangulaires supérieures de taille $n$ à coefficients dans $\mathbb{F}_p$ et à diagonale unité est un $p$-groupe d’ordre $p^{n(n-1)/2}$ ; c’est un $p$-sous-groupe de Sylow de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$.
   Pour $n=3$ on retrouve le groupe de Heisenberg, d’ordre $p^{3}$.
5. Dans $\mathfrak{S}_4$, d’ordre $24=2^{3}\cdot 3$, les $2$-sous-groupes de Sylow sont d’ordre $8$ et isomorphes à $D_4$ ; il y en a trois.
6. Contre-exemple. $\mathfrak{S}_3$ n’est pas un $p$-groupe : son ordre $6$ n’est une puissance d’aucun nombre premier, et il contient à la fois des éléments d’ordre $2$ et d’ordre $3$.