Est-ce qu'une permutation peut sauver la série ?

Existe-t-il une bijection $\sigma:\mathbb{N}^{*}\to\mathbb{N}^{*}$ telle que la série
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sigma(n)}{n^{2}}\quad \text {converge ?}$

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Solution by FiniteField

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On considère $S_{2n}-S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{\sigma(k)}{k^{2}}\geq \dfrac{1}{(2n)^{2}}\sum_{k=n+1}^{2n}\sigma(k)$ . Mais une somme de $n$ entiers distincts est minorée par $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$ . Ainsi,
$S_{2n}-S_{n}\geq \dfrac{n+1}{8n}\geq \dfrac{1}{8}.$ La série ne peut donc pas converger car alors la différence $S_{2n}-S_{n}$ tendrait vers $0.$

Solution by araucaria araucana

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La suite $(1/n^{2})_{n}$ est décroissante tandis que la suite $(n)_{n}$ est croissante. Par l’inégalité de réarrangement, on a
$\sum_{k=1}^{n}\sigma(k)/k^{2} \ge \sum_{k=1}^{n} k/k^{2} = \sum_{k=1}^{n} 1/k.$ La suite étant minorée par la série harmonique, elle ne converge pas.

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