Every hyperplane of $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ meets an invertible matrix

Supposons, par l’absurde, que
$$GL_n(\mathbb{C}) \cap H = \emptyset.$$

Comme l'identité^FR $I_n$ est inversible, on a
$$M_n(\mathbb{C}) = H \oplus \operatorname{Vect}(I_n).$$

Montrons que $H$ contient alors toutes les matrices nilpotentes^FR.

Soit $N$ une matrice nilpotente. On peut écrire
$$N = A + \lambda I_n,$$avec $A \in H$ et $\lambda \in \mathbb{C}$.

Montrons que $\lambda = 0$.

La matrice $N$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte.
Ainsi, $A = N - \lambda I_n$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure^FR dont tous les coefficients diagonaux valent $-\lambda$.

Il s’ensuit que
$$\det(A) = (-\lambda)^n.$$

Si $\lambda \neq 0$, alors
$$\det(A) \neq 0,$$donc $A$ est inversible^FR, ce qui est absurde puisque $A \in H$ et que, par hypothèse,
$$GL_n(\mathbb{C}) \cap H = \varnothing.$$

Ainsi $\lambda = 0$, et donc
$$N=A\in H.$$

On a donc montré que
$$\boxed{\mathcal{N}_n(\mathbb{C})\subset H},$$où $\mathcal{N}_n(\mathbb{C})$ désigne l’ensemble des matrices nilpotentes.

Posons désormais
$$N_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 1\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}$$et
$$N_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

Ces matrices sont triangulaires avec des $0$ sur la diagonale donc nilpotentes.
Ainsi,
$$N_1,N_2\in H.$$

Or
$$N_1+N_2= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Le polynôme caractéristique^FR de cette matrice est
$$\chi_{N_1+N_2}(X)=X^n-1.$$

En particulier,
$$\det(N_1+N_2)=(-1)^{n+1}\neq 0.$$

Ainsi, $N_1+N_2$ est inversible. Comme $H$ est un espace vectoriel et que $N_1,N_2\in H$, on a
$$N_1+N_2\in H.$$

On a donc construit une matrice inversible appartenant à $H$, ce qui contredit l’hypothèse
$$GL_n(\mathbb{C})\cap H=\emptyset.$$

Ainsi,
$$\boxed{GL_n(\mathbb{C})\cap H\neq\emptyset}.$$