Nombre complexe

Philosophie

Un nombre complexe est une autre manière de représenter un point dans le plan, soit avec son ordonnée et son abscisse. Cette manière de faire permet de s’affranchir du seul point de vue géométrique que représente la représentation vectorielle pour ajouter une dimension algébrique, et ainsi pouvoir réaliser des calculs, jouer sur les symétries, et surtout ramener l’étude du plan à celui de la compréhension de deux réels.

Définition rigoureuse

Soit $(x,y)\in\R^2$ un point du plan. Le nombre complexe qui lui est associé, appelé affixe, est la quantité
$$z=x+iy$$où $i$ l'unité imaginaire, définie par $i^{2}=-1$.

Représentation du point $(x,y):=(3,2)$ sous forme complexe, soit $z:=3+2i$.

Remarques

• L’ensemble de tous les nombres complexes est noté $\mathbb{C}$. En le munissant de l’addition et de la multiplication, on en fait un corps.
• Pour $z=x+iy$, on appelle $x$ la partie réelle de $z$, notée $\Re(z)$, et $y$ sa partie imaginaire, notée $\Im(z)$. Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est ainsi un réel et un nombre complexe de partie réelle nulle, soit de la forme $z=iy$, est appelé imaginaire pur.