Espace vectoriel

Intuition

Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs, dont les propriétés essentielles sont que l’on peut les additionner entre eux et les multiplier par des scalaires. Les vecteurs peuvent être des « flèches », comme on les rencontre habituellement dans les petites classes, mais on s’aperçoit ensuite que d’autres objets peuvent également être considérés comme des vecteurs, comme les matrices, les polynômes, les fonctions, etc.

L’addition de vecteurs (relation de Chasles) et l’addition de fonctions illustrent la même structure algébrique.

La définition formelle ci-dessous permet de garantir que ces deux opérations, l’addition et la multiplication par un scalaire, se comportent de manière cohérente avec les règles habituelles de l’algèbre.

Définition formelle

Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :

• Addition vectorielle $+:E\times E \rightarrow E$ (composition interne)
• Multiplication scalaire $\cdot:\mathbb{K}\times E \rightarrow E$ (composition externe)

telles que les propriétés suivantes soient vérifiées pour tous $u,v,w\in E$ et tous $\lambda,\mu\in K$ :

1. $E$ est un groupe abélien pour $+$.
2. Distributivité par rapport à l’addition vectorielle : $\lambda\cdot(u+v)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v$
3. Distributivité par rapport à l’addition des scalaires : $(\lambda+\mu)\cdot u=\lambda\cdot u+\mu\cdot u$
4. Compatibilité avec la multiplication du corps : $\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda \mu)u$
5. Élément neutre scalaire : $1\cdot u=u$, où $1$ est l’élément neutre multiplicatif de $\mathbb{K}$.